Em matemática e ciência da computação , o sistema de numeração binário , ou base 2 sistema numeral , representa valores numéricos usando dois símbolos: normalmente 0 e 1. Mais especificamente , o sistema habitual de base 2 é uma notação de posicionamento com uma base igual a 2 . Números representados neste sistema são comumente chamados de números binários. Devido à sua implementação direta em circuitos eletrônicos digitais usando portas lógicas , o sistema binário é usado internamente por quase todos os computadores modernos e dispositivos baseados em computador , como telefones celulares .históriaO sistema numérico binário moderno foi descoberto por Gottfried Leibniz em 1679 e aparece em seu artigo: Explicação de l' Arithmétique Binaire ( 1703 ) . Sistema de Leibniz usa 0 e 1 , como o sistema de numeração binário moderno. Como Sinophile , Leibniz estava ciente do Yijing (ou I- Ching ) e observou com fascinação como seus hexagramas correspondem aos números binários 0-111111 , e concluiu que esse mapeamento era uma evidência de grandes realizações chinesas no tipo de matemática filosófica ele admirava .
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| Gottfried Leibniz |
Leibniz
foi introduzido pela primeira vez para o I Ching através de seu contato
com o jesuíta francês Joachim Bouvet , que visitou a China em 1685 como
missionário. Leibniz
viu o I Ching hexagramas como uma afirmação de suas próprias crenças
religiosas como um cristão. números binários foram fundamentais para
a teologia de Leibniz . Ele acreditava que os números binários eram um símbolo da idéia cristã de creatio ex nihilo ou criação a partir do nada .
[ Um conceito que ] não é fácil de transmitir aos pagãos , é a criação ex nihilo por meio do poder onipotente de Deus. Agora pode-se dizer que nada no mundo pode melhor presente e demonstrar este poder que a origem dos números, uma vez que é aqui apresentado através da apresentação simples e sem adornos de um e zero ou Nada .
A carta de - Leibniz para o Duque de Brunswick anexado com o I Ching hexagramas Sistemas binários anteriores a Leibniz também existia no mundo antigo . O referido I Ching que inspirou Leibniz data do século 9 aC, na China . O sistema binário do I Ching , um texto para a adivinhação , é baseado na dualidade do yin e yang. Leibniz interpretou os hexagramas como evidência de cálculo binário. O texto contém um conjunto de oito trigramas ( Bagua ) e um conjunto de 64 hexagramas ( " sessenta e quatro " GUA) , análogo ao de três bits e seis bits números binários, estavam em uso pelo menos tão cedo quanto a Dinastia Zhou da China antiga . Os bosquímanos da África comunicadas utilizando tambores com tons binários que lhes permitiu codificar mensagens . O estudioso indiano Pingala (cerca quinta-segundo séculos aC ) desenvolveu um sistema binário para descrever a prosódia . Ele usou números binários na forma de curtas e longas sílabas ( esta última igual ao comprimento de duas sílabas curtas ) , tornando-se semelhante ao código Morse . clássico hindu de Pingala intitulado Chandaḥśāstra ( 8.23 ) descreve a formação de uma matriz , a fim de dar um valor único para cada metro. Um exemplo de uma tal matriz é como se segue ( note que estas representações binárias são " para trás " em comparação com a notação posicional moderna , Western ) :
0 0 0 0 valor numérico 110
1 0 0 0 valor numérico 210
0 1 0 0 valor numérico 310
1 1 0 0 valor numérico 410No século 11 , o erudito e filósofo Shao Yong desenvolveram um método para organizar os hexagramas que corresponde , ainda que involuntariamente , para a seqüência de 0 a 63 , conforme representado em binário, com o yin como 0, 1 e yang como o bit menos significativo no topo . A ordenação é também a ordem lexicográfica em sextuples de elementos escolhidos a partir de um conjunto de dois elementos .Conjuntos semelhantes de combinações binárias têm também sido utilizados em sistemas de adivinhação africanos tradicionais , tais como Ifá , bem como em medievais geomância Ocidental . O sistema de base- 2 utilizada em geomancia tinha sido amplamente aplicada na África subsaariana .Em 1605 Francis Bacon discutido um sistema em que as letras do alfabeto poderia ser reduzido para seqüências de dígitos binários , o que poderia , então, ser codificados como variações pouco visíveis na fonte de qualquer texto aleatório . É importante para a teoria geral da codificação binária , ele acrescentou que este método pode ser usado com qualquer objeto em tudo : " desde que esses objetos ser capaz de apenas uma diferença dupla , como por Bells, por Trombetas , por luzes e tochas , pelo relatório de mosquetes , e de quaisquer instrumentos da mesma natureza ". (Veja cifra de Bacon ).Em 1854 , o matemático britânico George Boole publicou um artigo detalhando marco de um sistema algébrico de lógica que se tornaria conhecido como álgebra booleana . Seu cálculo lógico viria a ser fundamental para o projeto de circuito eletrônico digital. Em 1937, Claude Shannon produziu sua tese de mestrado no MIT que implementava Álgebra de Boole e aritmética binária utilizando relés eletrônicos e interruptores , pela primeira vez na história. Intitulada Uma análise simbólica de relé de interrupção de circuitos , a tese de Shannon essencialmente fundada design prático circuito digital. Em novembro de 1937, George Stibitz , que então trabalhava na Bell Labs, completou um computador baseado em relé ele apelidado de " modelo K" ( de " Kitchen" , onde tinha montado ele) , que calculou usando adição binária . Bell Labs assim, autorizou um programa de pesquisa completo no final de 1938 com Stibitz ao leme. Seu Computador Número Complexo , completou 8 de janeiro de 1940 , foi capaz de calcular números complexos. Em uma demonstração na conferência da Sociedade Americana de Matemática no Dartmouth College em 11 de setembro de 1940, Stibitz foi capaz de enviar os comandos remotos calculadora número complexo através de linhas telefônicas por um teletipo . Foi a primeira máquina de computação já usou remotamente através de uma linha telefônica. Alguns participantes da conferência que presenciou a demonstração foram John Von Neumann , John Mauchly e Norbert Wiener , que escreveu sobre isso em suas memórias .representaçãoQualquer número pode ser representado por qualquer sequência de bits (dígitos binários) , que por sua vez podem ser representados por qualquer mecanismo capaz de estar em dois estados que se excluem mutuamente . A seguinte seqüência de símbolos poderiam ser interpretado como o valor numérico binário de 667:
[ Um conceito que ] não é fácil de transmitir aos pagãos , é a criação ex nihilo por meio do poder onipotente de Deus. Agora pode-se dizer que nada no mundo pode melhor presente e demonstrar este poder que a origem dos números, uma vez que é aqui apresentado através da apresentação simples e sem adornos de um e zero ou Nada .
A carta de - Leibniz para o Duque de Brunswick anexado com o I Ching hexagramas Sistemas binários anteriores a Leibniz também existia no mundo antigo . O referido I Ching que inspirou Leibniz data do século 9 aC, na China . O sistema binário do I Ching , um texto para a adivinhação , é baseado na dualidade do yin e yang. Leibniz interpretou os hexagramas como evidência de cálculo binário. O texto contém um conjunto de oito trigramas ( Bagua ) e um conjunto de 64 hexagramas ( " sessenta e quatro " GUA) , análogo ao de três bits e seis bits números binários, estavam em uso pelo menos tão cedo quanto a Dinastia Zhou da China antiga . Os bosquímanos da África comunicadas utilizando tambores com tons binários que lhes permitiu codificar mensagens . O estudioso indiano Pingala (cerca quinta-segundo séculos aC ) desenvolveu um sistema binário para descrever a prosódia . Ele usou números binários na forma de curtas e longas sílabas ( esta última igual ao comprimento de duas sílabas curtas ) , tornando-se semelhante ao código Morse . clássico hindu de Pingala intitulado Chandaḥśāstra ( 8.23 ) descreve a formação de uma matriz , a fim de dar um valor único para cada metro. Um exemplo de uma tal matriz é como se segue ( note que estas representações binárias são " para trás " em comparação com a notação posicional moderna , Western ) :
0 0 0 0 valor numérico 110
1 0 0 0 valor numérico 210
0 1 0 0 valor numérico 310
1 1 0 0 valor numérico 410No século 11 , o erudito e filósofo Shao Yong desenvolveram um método para organizar os hexagramas que corresponde , ainda que involuntariamente , para a seqüência de 0 a 63 , conforme representado em binário, com o yin como 0, 1 e yang como o bit menos significativo no topo . A ordenação é também a ordem lexicográfica em sextuples de elementos escolhidos a partir de um conjunto de dois elementos .Conjuntos semelhantes de combinações binárias têm também sido utilizados em sistemas de adivinhação africanos tradicionais , tais como Ifá , bem como em medievais geomância Ocidental . O sistema de base- 2 utilizada em geomancia tinha sido amplamente aplicada na África subsaariana .Em 1605 Francis Bacon discutido um sistema em que as letras do alfabeto poderia ser reduzido para seqüências de dígitos binários , o que poderia , então, ser codificados como variações pouco visíveis na fonte de qualquer texto aleatório . É importante para a teoria geral da codificação binária , ele acrescentou que este método pode ser usado com qualquer objeto em tudo : " desde que esses objetos ser capaz de apenas uma diferença dupla , como por Bells, por Trombetas , por luzes e tochas , pelo relatório de mosquetes , e de quaisquer instrumentos da mesma natureza ". (Veja cifra de Bacon ).Em 1854 , o matemático britânico George Boole publicou um artigo detalhando marco de um sistema algébrico de lógica que se tornaria conhecido como álgebra booleana . Seu cálculo lógico viria a ser fundamental para o projeto de circuito eletrônico digital. Em 1937, Claude Shannon produziu sua tese de mestrado no MIT que implementava Álgebra de Boole e aritmética binária utilizando relés eletrônicos e interruptores , pela primeira vez na história. Intitulada Uma análise simbólica de relé de interrupção de circuitos , a tese de Shannon essencialmente fundada design prático circuito digital. Em novembro de 1937, George Stibitz , que então trabalhava na Bell Labs, completou um computador baseado em relé ele apelidado de " modelo K" ( de " Kitchen" , onde tinha montado ele) , que calculou usando adição binária . Bell Labs assim, autorizou um programa de pesquisa completo no final de 1938 com Stibitz ao leme. Seu Computador Número Complexo , completou 8 de janeiro de 1940 , foi capaz de calcular números complexos. Em uma demonstração na conferência da Sociedade Americana de Matemática no Dartmouth College em 11 de setembro de 1940, Stibitz foi capaz de enviar os comandos remotos calculadora número complexo através de linhas telefônicas por um teletipo . Foi a primeira máquina de computação já usou remotamente através de uma linha telefônica. Alguns participantes da conferência que presenciou a demonstração foram John Von Neumann , John Mauchly e Norbert Wiener , que escreveu sobre isso em suas memórias .representaçãoQualquer número pode ser representado por qualquer sequência de bits (dígitos binários) , que por sua vez podem ser representados por qualquer mecanismo capaz de estar em dois estados que se excluem mutuamente . A seguinte seqüência de símbolos poderiam ser interpretado como o valor numérico binário de 667:
1 0 1 0 0 1 1 0 1 1
| − | − − | | − | |
x o x o o x x o x x
y n y n n y y n y y
Um relógio binário pode usar LEDs para expressar valores binários. Neste relógio , cada coluna de LEDs mostra um número decimal codificado binário do tempo sexagesimal tradicional .
Contagem no binário é semelhante à contagem em qualquer outro sistema de numeração . Começando com um único dígito , contando recursos através de cada símbolo, em ordem crescente. Antes
de examinar a contagem binária , é útil para discutir brevemente o
sistema de contagem decimal mais familiar como um quadro de referência.Contagem decimalContagem decimal utiliza os dez símbolos de 0 a 9 . Contando
principalmente envolve a manipulação
incremental do dígito "low -order "
, ou o dígito mais à direita , muitas vezes chamado de "o primeiro
dígito" . Quando
os símbolos disponíveis para o dígito de ordem estão esgotados, o
dígito seguinte ordem superior (localizada uma posição para a esquerda) é
incrementado , e contando no dígitos de ordem baixa recomeça em 0. Em decimal , contando prossegue assim:
000 , 001 , 002 , ... 007 , 008 , 009 , ( mais à direita dígito começa de novo , e próximo dígito é incrementado )
010 , 011 , 012 , ...
...
090 , 091 , 092 , ... 097 , 098 , 099 , ( dois dígitos mais à direita começar de novo, e próximo dígito é incrementado )
100 , 101 , 102 , ...Depois de um dígito atinge 9 , um incremento redefine a 0, mas também provoca um incremento do próximo dígito à esquerda .
Contagem Binária
Em binário , a contagem segue procedimento semelhante , exceto que apenas os dois símbolos 0 e 1 são usados. Assim, depois de um dígito atinge 1 em binário, um incremento redefine a 0, mas também provoca um incremento do próximo dígito à esquerda :
0000 ,
0001, ( mais à direita dígito começa de novo , e próximo dígito é incrementado )
0010 , 0011 , ( dois dígitos mais à direita começar de novo, e próximo dígito é incrementado )
0100 , 0101 , 0110 , 0111 , ( mais à direita três dígitos começar de novo, e o próximo dígito é incrementado )
1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 ...Uma vez que é um sistema binário de base 2 , cada dígito representa um aumento de potência de dois , com o dígito mais à direita representa 20 , o que representa 21 próximo , em seguida, 22 , e assim por diante . Para determinar a representação decimal de um número binário simplesmente tomar a soma dos produtos dos dígitos binários e as potências de 2 que representam. Por exemplo , o número binário 100101 é convertido para a forma decimal como se segue :
1001012 = [ ( 1 ) × 25 ] + [ ( 0 ) × 24 ] + [ ( 0 ) × 23 ] + [ ( 1 ) × 22 ] + [ ( 0 ) × 21 ] + [ ( 1 ) × 20 ]
1001012 = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 x 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]
1001012 = 3710Para criar um maior número , algarismos suplementares são simplesmente adicionados ao lado esquerdo da representação binária .FraçõesFrações em binário só terminará se o denominador tem 2 como o único fator primordial. Como resultado , 1/10 não têm uma representação binária finito , e isso faz com que 10 × 0,1 a não ser exactamente igual a 1 em aritmética de ponto flutuante . Como um exemplo , para interpretar a expressão binário de 1/3 = 0,010101 ... , isto significa : 1/3 = 0 × 2-1 + 2-2 + 1 × 0 × 2-3 + 1 × 2-4 + ... = 0,3125 + ... Um valor exato não pode ser encontrado com a soma de um número finito de potências inversas de dois, os zeros e uns na representação binária de 1/3 alternativo para sempre .Fração decimal aproximação Fractional Binary
.
Aritmética binária
Aritmética em binário é muito parecido com aritmética em outros sistemas numerais . Adição, subtração , multiplicação e divisão pode ser realizada em números binários.
adiçãoVer artigo principal: víbora binárioO diagrama de circuito para uma meia víbora binário, que adiciona dois pedaços juntos , produzindo soma e transportar bits.A operação aritmética mais simples em binário é adição. Adicionando dois números binários de um dígito é relativamente simples, usando uma forma de transporte :
0 + 0 → 0
0 + 1 → 1
1 + 0 → 1
1 + 1 → 0, levar 1 ( uma vez que 1 + 1 = 2 = 0 + ( 1 × 21 ) )Adição de dois dígitos "1" produz um dígito " 0 " , enquanto que um terá de ser adicionado para a coluna seguinte . Isto é semelhante ao que acontece em decimal quando certos números de um dígito são somados e, se o resultado for igual ou superior ao valor da raiz (10), o dígito à esquerda é incrementado :
5 + 5 → 0, transportar 1 ( a partir de 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 101) )
7 + 9 → 6 , levar 1 ( desde 7 + 9 = 16 = 6 + ( 1 × 101) )Isto é conhecido como a realização . Quando o resultado de uma adição excede o valor de um dígito , o procedimento é o de " transportar " o excesso de quantidade dividida pela raiz ( isto é, 10/10 ) para a esquerda , adicionando-a para o próximo valor posicional . Este é correcta desde a posição seguinte tem um peso que é maior por um factor igual ao da raiz. Realização de obras da mesma maneira em binário:
1 1 1 1 1 ( dígitos realizado )
0 1 1 0 1+ 1 0 1 1 1-------------= 1 0 0 1 0 0 = 36Neste exemplo , dois números estão a ser acumulados: 011012 ( 1310 ) e 101112 ( 2310 ) . A primeira linha mostra os bits de transporte utilizados . Começando na coluna mais à direita , 1 + 1 = 102. A 1 é transportada para a esquerda , e a 0 é escrito na parte inferior da coluna mais à direita . A segunda coluna da direita é adicionado : 1 + 0 + 1 = 102 novamente , o 1 é realizada , e 0 é escrito na parte inferior. A terceira coluna : 1 + 1 + 1 = 112. Desta vez , a 1 é realizado , e um 1 é escrito na linha de fundo. Procedendo assim dá a resposta final 1001002 (36 decimal).Quando os computadores deve adicionar dois números, a regra de que : x xor y = (x + y ) mod 2 para quaisquer dois bits de x e y permite cálculo muito rápido, também.Método de transporte de longaA simplificação para muitos problemas de adição binária é o Método de transporte de longo ou Método Brookhouse de binário Adição . Este método é geralmente útil em qualquer adição binária em que um dos números contém uma " cadeia" de longo de uns. Ele baseia-se na premissa de que a simples sob o sistema binário , quando é dada uma " cadeia" de dígitos compostos inteiramente de n queridos ( em que n é qualquer número inteiro de comprimento ) , adicionando 1 resultará na número 1 seguido por uma cadeia de n zeros . Esse conceito se segue, logicamente , assim como no sistema decimal , onde a adição de 1 a uma seqüência de n 9s resultará no número 1 seguido por uma seqüência de n 0s :
binário Decimal
1 1 1 1 1 do mesmo modo 9 9 9 9 9
+ 1 + 1
----------------------
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0Tais cadeias longas são bastante comuns no sistema binário . Desde que descobre-se que grandes números binários pode ser adicionado usando dois passos simples, sem operações de carry excessivos. No exemplo a seguir , dois números são adicionados juntos : 1 1 1 0 1 1 1 1 1 02 ( 95810 ) e 1 0 1 0 1 1 0 0 1 12 ( 69110 ) , usando o método tradicional de transporte do lado esquerdo , e o método de transporte de longa à direita:Método Tradicional Carry Carry Método Longo
vs
1 1 1 1 1 1 1 1 (dígitos realizadas ) 1 1 ← ← levar a um até que seja um dígito após o " string" abaixo
1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 riscar o " string" ,+ 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 e riscar o dígito que foi adicionada a ela----------------------------------------------= 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1A primeira linha mostra os bits de transporte utilizados . Em vez de transportar o padrão a partir de uma coluna para outra, o menor ordenada " 1 " com um " 1 " no lugar correspondente valor abaixo dela pode ser acrescentado e um " 1 " pode ser realizado a um dígito para além da extremidade do série . Os números de "usado" deve ser riscado , uma vez que já são adicionados. Outras cadeias longas também poderá ser cancelada usando a mesma técnica . Em seguida, basta somar os dígitos restantes normalmente. Procedendo desta maneira dá a resposta final de 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 12 ( 164910 ) . No nosso exemplo simples, usando um pequeno número , o método de transporte tradicional exigido oito operações de transporte, no entanto, o método de transporte de longo necessários apenas dois , o que representa uma redução substancial de esforço.mesa Adição0 10 0 11 1 10A tabela a adição binária é semelhante, mas não é o mesmo , como a tabela de verdade da disjunção lógica operação \ ou . A diferença é que uma \ ou 1 = 1 , enquanto que 1 1 = 10 .subtraçãoMais informações: representações de números assinados e complemento de doisSubtração funciona quase da mesma maneira:
0-0 → 0
0-1 → 1 , emprestar 1
1-0 → 1
1 - 1 → 0Subtraindo-se um " 1 " de um dígito " 0 " dígito produz o dígito " 1 " , enquanto que um terá de ser subtraída da coluna seguinte . Isto é conhecido como empréstimo. O princípio é o mesmo que para o transporte . Quando o resultado de uma subtracção é inferior a 0 , o valor mínimo possível de um dígito , o procedimento é para " retirar" o défice dividida pela raiz ( isto é, 10/10 ) a partir da esquerda , subtraindo-o do lado de posicionamento valor.
**** ( Colunas estrelou são emprestados a partir de )
1 1 0 1 1 1 0- 1 0 1 1 1----------------= 1 0 1 0 1 1 1Subtraindo-se um número positivo é equivalente a adicionar um número negativo de valor absoluto igual . Os computadores usam representações de números assinados para lidar com números - mais negativos comumente notação de complemento de dois . Estas representações eliminar a necessidade de uma operação separada " subtrair " . Usando dois de subtração notação complemento pode ser resumido pela seguinte fórmula :A - B = A + B + 1 nãomultiplicaçãoMultiplicação em binário é semelhante ao seu homólogo decimal. Dois números A e B pode ser multiplicado por produtos parciais : para cada dígito em B, o produto dessa dígitos em A é calculado e escrito em uma nova linha , deslocou para a esquerda de modo que suas linhas de dígitos mais à direita até com o dígito na B que era utilizado . A soma de todos estes produtos parciais dá o resultado final .Uma vez que existem apenas dois dígitos em binário, existem apenas dois resultados possíveis de cada multiplicação parcial :
Se o algarismo B é 0 , o produto parcial é também 0
Se o algarismo B é 1 , o produto parcial é igual a APor exemplo , os números binários 1011 e 1010 são multiplicados como se segue :
1 0 1 1 ( A)
× 1 0 1 0 ( B )
---------
0 0 0 0 ← Corresponde à direita 'zero' em B
+ 1 0 1 1 ← Corresponde ao lado 'um' em B
+ 0 0 0 0
+ 1 0 1 1
---------------
= 1 1 0 1 1 1 0Os números binários também podem ser multiplicados com pedaços depois de um ponto binário:
1 0 1 . 1 0 1 A ( 5.625 in decimal)
× 1 1 0 . 0 1 B (6,25 em decimal)
-------------------
1 . 0 1 1 0 1 ← Corresponde a um 'um' em B
+ 0 0 . 0 0 0 0 ← Corresponde a um "zero" em B
+ 0 0 0 . 0 0 0
+ 1 0 1 1 . 0 1
+ 1 0 1 1 0 . 1
---------------------------
= 1 0 0 0 1 1 . 0 0 1 0 1 (35,15625 em decimal)Veja também algoritmo de multiplicação de Booth .tabuada de multiplicar0 10 0 01 0 1A tabela de multiplicação binárias é a mesma que a tabela de verdade do funcionamento conjunto lógico \ e .divisão
Algoritmo DivisãoDivisão binária é novamente semelhante ao seu homólogo decimal:Aqui, o divisor é 1012, ou 5 decimal , enquanto o dividendo é 110.112 , ou 27 decimal. O procedimento é o mesmo que o de divisão longa decimal ; aqui , o divisor 1012 vai para os primeiros três dígitos de 1102 o dividendo uma vez , de modo que um " 1 " é escrito na linha superior . Este resultado é multiplicado pelo divisor e subtraído os três primeiros dígitos do dividendo , o próximo dígito ( "1" ) é incluído para obter uma nova sequência de três dígitos :
1
___________1 0 1 ) 1 1 0 1 1
- 1 0 1
-----
0 1 1O procedimento é repetido com a nova seqüência , continuando até que os dígitos do dividendo tenham sido esgotadas :
1 0 1
___________1 0 1 ) 1 1 0 1 1
- 1 0 1
-----
0 1 1
- 0 0 0
-----
1 1 1
- 1 0 1
-----
1 0Assim, o quociente de 110.112 dividido por 1012 é 1012, como mostrado na linha superior , enquanto o restante , mostrado na linha de fundo , é de 102 . Em decimal , 27 dividido por 5 é 5, com resto 2.raiz quadradaBinário raiz quadrada é semelhante ao seu homólogo decimal também. Mas, é mais simples do que em decimal.
por exemplo
1 0 0 1
---------
√ 1010001
1
---------
101 01
0
--------
1001 100
0
--------
10001 10001
10001
-------
0operações bit a bit
Apesar de não ser diretamente relacionado com a interpretação numérica de símbolos binários, seqüências de bits podem ser manipulados usando operadores lógicos booleanos. Quando uma seqüência de símbolos binários é manipulado dessa forma, ele é chamado de uma operação bit a bit , os operadores lógicos AND, OR , XOR e pode ser realizada em bits correspondentes em dois números binários fornecidos como entrada. A operação lógica NÃO pode ser realizada em pedaços individuais em um único número binário fornecido como entrada . Por vezes , tais operações podem ser utilizados como aritméticas atalhos , e pode ter outros benefícios computacionais bem . Por exemplo , um deslocamento à esquerda aritmética de um número binário é o equivalente a multiplicação por um (integral positivo ) potência de 2 .Conversão de e para outros sistemas numeraisdecimalPara converter de um número inteiro numeral de base 10 para a sua ( binário ) o equivalente de base 2 , o número é dividido por dois , e o restante é o bit menos significativo . O (inteiro ) resultado é novamente dividido por dois , o restante é o seguinte bit menos significativo . Este processo se repete até que o quociente se torna zero.Conversão de base 2 para receitas , aplicando o algoritmo anterior 10 -base , por assim dizer , em sentido inverso. Os bits do número binário é utilizado , uma a uma , começando com o mais significativo ( mais à esquerda ) bits . Começando com o valor 0 , o dobro repetidamente o valor anterior e adicione o próximo bit para produzir o próximo valor. Isso pode ser organizada em uma tabela com várias colunas . Por exemplo, para converter 100101011012 para decimal:
Valor Antes × 2 + Próximo bit seguinte valor
0 x 2 + 1 = 1
1 × 2 + 0 = 2
2 × 2 + 0 = 4
4 × 2 + 1 = 9
9 × 2 + 0 = 18
18 × 2 + 1 = 37
37 × 2 + 0 = 74
74 × 2 + 1 = 149
149 × 2 + 1 = 299
299 × 2 + 0 = 598
598 × 2 + 1 = 1197O resultado é 119710 . Note-se que o primeiro Valor Antes de 0 é simplesmente um valor decimal inicial . Este método é uma aplicação do regime de Horner .Binário 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1Decimal 1 × 210 + 0 × 29 + 0 × 28 + 1 × 27 + 0 × 26 + 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 1197As partes fracionárias de um número são convertidos com métodos semelhantes . Eles estão novamente com base na equivalência de desviar com duplicar ou reduzir para metade .Em um número binário fracionário como 0,110101101012 , o primeiro dígito é \ begin { matrix} \ frac {1} { 2} \ end { matrix} , o segundo \ begin { matrix} ( \ frac {1} { 2}) ^ 2 = \ frac {1 } {4} \ end { matrix} , etc Então, se há um 1 em primeiro lugar após o decimal , então o número é pelo menos \ begin { matrix} \ frac { 1} {2 } \ end { matrix} , e vice- versa. Dupla que o número é pelo menos 1. Isto sugere que o algoritmo : repetidamente dobrar o número a ser convertido , ficha , se o resultado é , no mínimo, 1 , e , em seguida, jogue fora a parte inteira .Por exemplo, \ begin { matrix} (\ frac { 1} {3} ) \ end { matrix} 10 , em binário, é a seguinte:
Convertendo Resultado
\ begin { matrix} \ frac {1} { 3} \ end { matrix} 0 .
\ begin { matrix} \ frac { 1 } { 3 } \ times 2 = \ frac {2} { 3} <1 \ end { matrix} 0.0
\ begin { matrix} \ frac { 2 } { 3 } \ times 2 = 1 \ frac {1} {3 } \ ge 1 \ end { matrix} 0,01
\ begin { matrix} \ frac { 1 } { 3 } \ times 2 = \ frac {2} { 3} <1 \ end { matrix} 0.010
\ begin { matrix} \ frac { 2 } { 3 } \ times 2 = 1 \ frac {1} {3 } \ ge 1 \ end { matrix} 0,0101Assim, a fração decimal repetindo 0,3 ... é equivalente à fração binária repetindo 0,01 ... .Ou, por exemplo , 0.110 , em binária , é :
Convertendo Resultado
0.1 0 .
0,1 × 2 = 0,2 < 1 0,0
0,2 × 2 = 0,4 < 1 0,00
0,4 × 2 = 0,8 < 1 0,000
0,8 x 2 = 1,6 ≥ 1 0,0001
0,6 × 2 = 1,2 ≥ 1 0.00011
0,2 × 2 = 0,4 < 1 0,000110
0,4 × 2 = 0,8 < 1 0,0001100
0,8 x 2 = 1,6 ≥ 1 0,00011001
0,6 × 2 = 1,2 ≥ 1 0,000110011
0,2 × 2 = 0,4 < 1 0,0001100110Esta é também uma fração binária repetindo 0.00011 ... . Pode vir como uma surpresa que encerra frações decimais podem ter expansões de repetição em binário . É por esta razão que muitos se surpreendem ao descobrir que 0,1 + ... + 0,1, ( 10 adições ) difere de 1 em aritmética de ponto flutuante . Na verdade, as únicas frações binárias com expansões de terminação são da forma de um inteiro dividido por uma potência de 2 , que 1/10 não é.A conversão final, é de binário para as fracções decimais . A única dificuldade surge com frações de repetição, mas por outro lado o método é mudar a fração de um inteiro, convertê-la como acima, e em seguida, dividir pelo poder apropriado de dois na base decimal . Por exemplo :
Adição
Ver artigo principal: víbora binárioO diagrama de circuito para uma meia víbora binário, que adiciona dois pedaços juntos , produzindo soma e transportar bits.A operação aritmética mais simples em binário é adição. Adicionando dois números binários de um dígito é relativamente simples, usando uma forma de transporte :
0 + 0 → 0
0 + 1 → 1
1 + 0 → 1
1 + 1 → 0, levar 1 ( uma vez que 1 + 1 = 2 = 0 + ( 1 × 21 ) )Adição de dois dígitos "1" produz um dígito " 0 " , enquanto que um terá de ser adicionado para a coluna seguinte . Isto é semelhante ao que acontece em decimal quando certos números de um dígito são somados e, se o resultado for igual ou superior ao valor da raiz (10), o dígito à esquerda é incrementado :
5 + 5 → 0, transportar 1 ( a partir de 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 101) )
7 + 9 → 6 , levar 1 ( desde 7 + 9 = 16 = 6 + ( 1 × 101) )Isto é conhecido como a realização . Quando o resultado de uma adição excede o valor de um dígito , o procedimento é o de " transportar " o excesso de quantidade dividida pela raiz ( isto é, 10/10 ) para a esquerda , adicionando-a para o próximo valor posicional . Este é correcta desde a posição seguinte tem um peso que é maior por um factor igual ao da raiz. Realização de obras da mesma maneira em binário:
1 1 1 1 1 ( dígitos realizado )
0 1 1 0 1+ 1 0 1 1 1-------------= 1 0 0 1 0 0 = 36Neste exemplo , dois números estão a ser acumulados: 011012 ( 1310 ) e 101112 ( 2310 ) . A primeira linha mostra os bits de transporte utilizados . Começando na coluna mais à direita , 1 + 1 = 102. A 1 é transportada para a esquerda , e a 0 é escrito na parte inferior da coluna mais à direita . A segunda coluna da direita é adicionado : 1 + 0 + 1 = 102 novamente , o 1 é realizada , e 0 é escrito na parte inferior. A terceira coluna : 1 + 1 + 1 = 112. Desta vez , a 1 é realizado , e um 1 é escrito na linha de fundo. Procedendo assim dá a resposta final 1001002 (36 decimal).Quando os computadores deve adicionar dois números, a regra de que : x xor y = (x + y ) mod 2 para quaisquer dois bits de x e y permite cálculo muito rápido, também.Método de transporte de longaA simplificação para muitos problemas de adição binária é o Método de transporte de longo ou Método Brookhouse de binário Adição . Este método é geralmente útil em qualquer adição binária em que um dos números contém uma " cadeia" de longo de uns. Ele baseia-se na premissa de que a simples sob o sistema binário , quando é dada uma " cadeia" de dígitos compostos inteiramente de n queridos ( em que n é qualquer número inteiro de comprimento ) , adicionando 1 resultará na número 1 seguido por uma cadeia de n zeros . Esse conceito se segue, logicamente , assim como no sistema decimal , onde a adição de 1 a uma seqüência de n 9s resultará no número 1 seguido por uma seqüência de n 0s :
binário Decimal
1 1 1 1 1 do mesmo modo 9 9 9 9 9
+ 1 + 1
----------------------
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0Tais cadeias longas são bastante comuns no sistema binário . Desde que descobre-se que grandes números binários pode ser adicionado usando dois passos simples, sem operações de carry excessivos. No exemplo a seguir , dois números são adicionados juntos : 1 1 1 0 1 1 1 1 1 02 ( 95810 ) e 1 0 1 0 1 1 0 0 1 12 ( 69110 ) , usando o método tradicional de transporte do lado esquerdo , e o método de transporte de longa à direita:Método Tradicional Carry Carry Método Longo
vs
1 1 1 1 1 1 1 1 (dígitos realizadas ) 1 1 ← ← levar a um até que seja um dígito após o " string" abaixo
1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 riscar o " string" ,+ 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 e riscar o dígito que foi adicionada a ela----------------------------------------------= 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1A primeira linha mostra os bits de transporte utilizados . Em vez de transportar o padrão a partir de uma coluna para outra, o menor ordenada " 1 " com um " 1 " no lugar correspondente valor abaixo dela pode ser acrescentado e um " 1 " pode ser realizado a um dígito para além da extremidade do série . Os números de "usado" deve ser riscado , uma vez que já são adicionados. Outras cadeias longas também poderá ser cancelada usando a mesma técnica . Em seguida, basta somar os dígitos restantes normalmente. Procedendo desta maneira dá a resposta final de 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 12 ( 164910 ) . No nosso exemplo simples, usando um pequeno número , o método de transporte tradicional exigido oito operações de transporte, no entanto, o método de transporte de longo necessários apenas dois , o que representa uma redução substancial de esforço.mesa Adição0 10 0 11 1 10A tabela a adição binária é semelhante, mas não é o mesmo , como a tabela de verdade da disjunção lógica operação \ ou . A diferença é que uma \ ou 1 = 1 , enquanto que 1 1 = 10 .subtraçãoMais informações: representações de números assinados e complemento de doisSubtração funciona quase da mesma maneira:
0-0 → 0
0-1 → 1 , emprestar 1
1-0 → 1
1 - 1 → 0Subtraindo-se um " 1 " de um dígito " 0 " dígito produz o dígito " 1 " , enquanto que um terá de ser subtraída da coluna seguinte . Isto é conhecido como empréstimo. O princípio é o mesmo que para o transporte . Quando o resultado de uma subtracção é inferior a 0 , o valor mínimo possível de um dígito , o procedimento é para " retirar" o défice dividida pela raiz ( isto é, 10/10 ) a partir da esquerda , subtraindo-o do lado de posicionamento valor.
**** ( Colunas estrelou são emprestados a partir de )
1 1 0 1 1 1 0- 1 0 1 1 1----------------= 1 0 1 0 1 1 1Subtraindo-se um número positivo é equivalente a adicionar um número negativo de valor absoluto igual . Os computadores usam representações de números assinados para lidar com números - mais negativos comumente notação de complemento de dois . Estas representações eliminar a necessidade de uma operação separada " subtrair " . Usando dois de subtração notação complemento pode ser resumido pela seguinte fórmula :A - B = A + B + 1 não
MultiplicaçãoMultiplicação em binário é semelhante ao seu homólogo decimal. Dois números A e B pode ser multiplicado por produtos parciais : para cada dígito em B, o produto dessa dígitos em A é calculado e escrito em uma nova linha , deslocou para a esquerda de modo que suas linhas de dígitos mais à direita até com o dígito na B que era utilizado . A soma de todos estes produtos parciais dá o resultado final .Uma vez que existem apenas dois dígitos em binário, existem apenas dois resultados possíveis de cada multiplicação parcial :
Se o algarismo B é 0 , o produto parcial é também 0
Se o algarismo B é 1 , o produto parcial é igual a APor exemplo , os números binários 1011 e 1010 são multiplicados como se segue :
1 0 1 1 ( A)
× 1 0 1 0 ( B )
---------
0 0 0 0 ← Corresponde à direita 'zero' em B
+ 1 0 1 1 ← Corresponde ao lado 'um' em B
+ 0 0 0 0
+ 1 0 1 1
---------------
= 1 1 0 1 1 1 0Os números binários também podem ser multiplicados com pedaços depois de um ponto binário:
1 0 1 . 1 0 1 A ( 5.625 in decimal)
× 1 1 0 . 0 1 B (6,25 em decimal)
-------------------
1 . 0 1 1 0 1 ← Corresponde a um 'um' em B
+ 0 0 . 0 0 0 0 ← Corresponde a um "zero" em B
+ 0 0 0 . 0 0 0
+ 1 0 1 1 . 0 1
+ 1 0 1 1 0 . 1
---------------------------
= 1 0 0 0 1 1 . 0 0 1 0 1 (35,15625 em decimal)Veja também algoritmo de multiplicação de Booth .tabuada de multiplicar0 10 0 01 0 1A tabela de multiplicação binárias é a mesma que a tabela de verdade do funcionamento conjunto lógico \ e .divisãoVeja também: algoritmo Divisão
Divisão binária é novamente semelhante ao seu homólogo decimal:Aqui, o divisor é 1012, ou 5 decimal , enquanto o dividendo é 110.112 , ou 27 decimal. O procedimento é o mesmo que o de divisão longa decimal ; aqui , o divisor 1012 vai para os primeiros três dígitos de 1102 o dividendo uma vez , de modo que um " 1 " é escrito na linha superior . Este resultado é multiplicado pelo divisor e subtraído os três primeiros dígitos do dividendo , o próximo dígito ( "1" ) é incluído para obter uma nova sequência de três dígitos :
1
___________1 0 1 ) 1 1 0 1 1
- 1 0 1
-----
0 1 1O procedimento é repetido com a nova seqüência , continuando até que os dígitos do dividendo tenham sido esgotadas :
1 0 1
___________1 0 1 ) 1 1 0 1 1
- 1 0 1
-----
0 1 1
- 0 0 0
-----
1 1 1
- 1 0 1
-----
1 0Assim, o quociente de 110.112 dividido por 1012 é 1012, como mostrado na linha superior , enquanto o restante , mostrado na linha de fundo , é de 102 . Em decimal , 27 dividido por 5 é 5, com resto 2.raiz quadradaBinário raiz quadrada é semelhante ao seu homólogo decimal também. Mas, é mais simples do que em decimal.
(10x + y) ^ { 10 } -100x ^ { 10 } = y ^ { 10 } 100 xy = \ begin { casos } 0 , & y = 0 \ \ 100x 1 , e Y = 1 \ end { casos }
por exemplo
1 0 0 1
---------
√ 1010001
1
---------
101 01
0
--------
1001 100
0
--------
10001 10001
10001
-------
0operações bit a bitVer artigo principal: operação bit a bitApesar de não ser diretamente relacionado com a interpretação numérica de símbolos binários, seqüências de bits podem ser manipulados usando operadores lógicos booleanos. Quando uma seqüência de símbolos binários é manipulado dessa forma, ele é chamado de uma operação bit a bit , os operadores lógicos AND, OR , XOR e pode ser realizada em bits correspondentes em dois números binários fornecidos como entrada. A operação lógica NÃO pode ser realizada em pedaços individuais em um único número binário fornecido como entrada . Por vezes , tais operações podem ser utilizados como aritméticas atalhos , e pode ter outros benefícios computacionais bem . Por exemplo , um deslocamento à esquerda aritmética de um número binário é o equivalente a multiplicação por um (integral positivo ) potência de 2 .Conversão de e para outros sistemas numeraisdecimalPara converter de um número inteiro numeral de base 10 para a sua ( binário ) o equivalente de base 2 , o número é dividido por dois , e o restante é o bit menos significativo . O (inteiro ) resultado é novamente dividido por dois , o restante é o seguinte bit menos significativo . Este processo se repete até que o quociente se torna zero.Conversão de base 2 para receitas , aplicando o algoritmo anterior 10 -base , por assim dizer , em sentido inverso. Os bits do número binário é utilizado , uma a uma , começando com o mais significativo ( mais à esquerda ) bits . Começando com o valor 0 , o dobro repetidamente o valor anterior e adicione o próximo bit para produzir o próximo valor. Isso pode ser organizada em uma tabela com várias colunas . Por exemplo, para converter 100101011012 para decimal:
Valor Antes × 2 + Próximo bit seguinte valor
0 x 2 + 1 = 1
1 × 2 + 0 = 2
2 × 2 + 0 = 4
4 × 2 + 1 = 9
9 × 2 + 0 = 18
18 × 2 + 1 = 37
37 × 2 + 0 = 74
74 × 2 + 1 = 149
149 × 2 + 1 = 299
299 × 2 + 0 = 598
598 × 2 + 1 = 1197O resultado é 119710 . Note-se que o primeiro Valor Antes de 0 é simplesmente um valor decimal inicial . Este método é uma aplicação do regime de Horner .Binário 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1Decimal 1 × 210 + 0 × 29 + 0 × 28 + 1 × 27 + 0 × 26 + 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 1197As partes fracionárias de um número são convertidos com métodos semelhantes . Eles estão novamente com base na equivalência de desviar com duplicar ou reduzir para metade .Em um número binário fracionário como 0,110101101012 , o primeiro dígito é \ begin { matrix} \ frac {1} { 2} \ end { matrix} , o segundo \ begin { matrix} ( \ frac {1} { 2}) ^ 2 = \ frac {1 } {4} \ end { matrix} , etc Então, se há um 1 em primeiro lugar após o decimal , então o número é pelo menos \ begin { matrix} \ frac { 1} {2 } \ end { matrix} , e vice- versa. Dupla que o número é pelo menos 1. Isto sugere que o algoritmo : repetidamente dobrar o número a ser convertido , ficha , se o resultado é , no mínimo, 1 , e , em seguida, jogue fora a parte inteira .Por exemplo, \ begin { matrix} (\ frac { 1} {3} ) \ end { matrix} 10 , em binário, é a seguinte:
Convertendo Resultado
\ begin { matrix} \ frac {1} { 3} \ end { matrix} 0 .
\ begin { matrix} \ frac { 1 } { 3 } \ times 2 = \ frac {2} { 3} <1 \ end { matrix} 0.0
\ begin { matrix} \ frac { 2 } { 3 } \ times 2 = 1 \ frac {1} {3 } \ ge 1 \ end { matrix} 0,01
\ begin { matrix} \ frac { 1 } { 3 } \ times 2 = \ frac {2} { 3} <1 \ end { matrix} 0.010
\ begin { matrix} \ frac { 2 } { 3 } \ times 2 = 1 \ frac {1} {3 } \ ge 1 \ end { matrix} 0,0101Assim, a fração decimal repetindo 0,3 ... é equivalente à fração binária repetindo 0,01 ... .Ou, por exemplo , 0.110 , em binária , é :
Convertendo Resultado
0.1 0 .
0,1 × 2 = 0,2 < 1 0,0
0,2 × 2 = 0,4 < 1 0,00
0,4 × 2 = 0,8 < 1 0,000
0,8 x 2 = 1,6 ≥ 1 0,0001
0,6 × 2 = 1,2 ≥ 1 0.00011
0,2 × 2 = 0,4 < 1 0,000110
0,4 × 2 = 0,8 < 1 0,0001100
0,8 x 2 = 1,6 ≥ 1 0,00011001
0,6 × 2 = 1,2 ≥ 1 0,000110011
0,2 × 2 = 0,4 < 1 0,0001100110Esta é também uma fração binária repetindo 0.00011 ... . Pode vir como uma surpresa que encerra frações decimais podem ter expansões de repetição em binário . É por esta razão que muitos se surpreendem ao descobrir que 0,1 + ... + 0,1, ( 10 adições ) difere de 1 em aritmética de ponto flutuante . Na verdade, as únicas frações binárias com expansões de terminação são da forma de um inteiro dividido por uma potência de 2 , que 1/10 não é.A conversão final, é de binário para as fracções decimais . A única dificuldade surge com frações de repetição, mas por outro lado o método é mudar a fração de um inteiro, convertê-la como acima, e em seguida, dividir pelo poder apropriado de dois na base decimal . Por exemplo :
Outra
forma de converter de binário para decimal , muitas vezes mais rápido
para uma pessoa familiarizada com hexadecimal , é fazê-lo indiretamente ,
primeiro convertendo (x em binário ) para ( x em hexadecimal) e , em
seguida, converter (x em hexadecimal ) para ( x em decimal ) .
Para
grandes números , estes métodos simples são ineficientes porque
realizar um grande número de multiplicações ou divisões onde um operando
é muito grande . Um
algoritmo de divisão e conquista simples é assintoticamente mais eficaz
: dado um número binário , que é dividido por 10k , em que k é
escolhido de modo que o quociente é aproximadamente igual ao restante ,
então cada uma destas peças é convertido para decimal e os dois são concatenadas. Dado
um número decimal , pode ser dividida em dois pedaços de
aproximadamente o mesmo tamanho , cada um dos quais é convertida em
binário , após o que a primeira peça convertido é multiplicado por 10k e
adicionou-se a segunda peça convertido , onde k é o número de decimal dígitos na segunda parte , menos significativo antes da conversão .HexadecimalVer artigo principal: hexadecimal0hex = 0dec 0oct = 0 0 0 01hex = 1dec 1oct = 0 0 0 12hex = 2dec = 2oct 0 0 1 03hex = 3dec = 3oct 0 0 1 14hex = 4dec = 4oct 0 1 0 05hex = 5dec = 5oct 0 1 0 16hex = 6dec = 6oct 0 1 1 07hex = 7dec 7oct = 0 1 1 18hex = 8dec = 10oct 1 0 0 09hex = 9dec = 11oct 1 0 0 1Ahex = 10dec = 12oct 1 0 1 0Bhex = 11dec = 13oct 1 0 1 1Chex = 12dec = 14oct 1 1 0 0DHex = 13dec = 15oct 1 1 0 1Ehex = 14Dez = 16oct 1 1 1 0FHEX = 15Dez = 17oct 1 1 1 1Binário pode ser convertido para e de hexadecimal um pouco mais facilmente . Isto é porque a raiz do sistema hexadecimal ( 16 ) é uma potência da raiz do sistema binário ( 2 ) . Mais especificamente , 16 = 24 , de modo que leva quatro dígitos binários para representar um dígito de hexadecimal , tal como mostrado na tabela para a direita .Para converter um número hexadecimal em seu equivalente binário, simplesmente substitua os dígitos binários correspondentes :
3A16 = 0011 10102
E716 = 1110 01112Para converter um número binário em seu equivalente hexadecimal , dividi-lo em grupos de quatro bits. Se o número de bits não é um múltiplo de quatro , basta inserir extras 0 bits no esquerdo ( chamado enchimento ) . Por exemplo :
10100102 = 0101 0010 agrupados com estofamento = 5216
110111012 = 1101 1101 = agrupados DD16Para converter um número hexadecimal em seu equivalente decimal , multiplique o equivalente decimal de cada dígito hexadecimal pelo poder correspondente de 16 e adicionar os valores resultantes :
C0E716 = ( 12 x 163 ) + ( 0 x 162 ) + ( 14 x 161 ) + ( 7 × 160 ) = ( 12 × 4096 ) + ( 0 x 256 ) + ( 14 x 16 ) + ( 7 × 1 ) = 49,38310octalBinária também é facilmente convertido para o sistema de numeração octal , desde octal utiliza uma base igual a 8 , que é uma potência de dois ( isto é , 23 , de modo que é preciso exactamente três dígitos binários para representar um dígito octal ) . A correspondência entre octal e números binários é o mesmo que para os oito primeiros dígitos de hexadecimal na tabela acima . Binária 000 é equivalente ao dígito octal 0 , binário 111 é equivalente ao octal 7 , e assim por diante .
octal Binário
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111Convertendo de octal para recursos binários da mesma forma como faz para hexadecimal :
658 = 110 1012
178 = 001 1112E de binário para octal :
1011002 = 101 1002 = 548 agrupados
100112 = 010 0112 agrupados com estofamento = 238E a partir de octal para decimal:
658 = ( 6 × 81) + ( 5 × 80 ) = ( 6 × 8) + ( 5 × 1) = 5310
1278 = ( 1 × 82 ) + (2 x 81 ) + ( 7 × 80 ) = ( 1 × 64 ) + ( 2 × 8 ) + ( 7 × 1 ) = 8710
Representando números reaisNão- inteiros pode ser representado usando poderes negativos , que são definidos a partir dos outros dígitos por meio de um ponto de raiz (chamado um ponto decimal no sistema decimal). Por exemplo, o número binário 11,012 significa assim:
1 × 21 ( 1 × 2 = 2 ), além
1 × 20 ( 1 × 1 = 1 ), além
0 × 2-1 ( 0 × ½ = 0 ) acrescido
1 × 2-2 ( 1 × ¼ = 0,25 )Para um total de 3,25 decimal .
Todos os números racionais diádicas
ter uma representação binária do numeral binário terminando tem um número finito de termos após o ponto da raiz . Outros
números racionais têm representação binária , mas em vez de terminação ,
eles se repetem , com uma sequência finita de dígitos repetindo
indefinidamente. por exemplo:
\ frac { { 10 } 1_ } { { 3_ 10 }} = \ frac { 1_2 } { 11_2 } = 0,0101010101 ... 2
\ frac { { 10 } 12_ } { 17_ { 10 }} = \ frac { } { 1100_2 10001_2 } = 0,10110100 10110100 10110100 ... 2O fenômeno que a representação binária de qualquer racional é ou terminação ou recorrente também ocorre em outros sistemas numéricos baseados em Radix . Veja-se, por exemplo , a explicação em decimal . Outra semelhança é a existência de representações alternativas para qualquer representação de terminação , contando com o fato de que 0.111111 ... é a soma da série geométrica 2-1 + 2-2 + 2-3 + ... que é 1 .Números binários que não terminam nem recorrências representam números irracionais . Por exemplo ,
0,10100100010000100000100 ... tem um padrão, mas não é um padrão recorrente de comprimento fixo , então o número é irracional
1,0110101000001001111001100110011111110 ... é a representação binária de
, A raiz quadrada de 2 , outro irracional . Não tem nenhum padrão discernível . Veja o número irracional.
| Decimal pattern | Binary numbers |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 10 |
| 3 | 11 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
| 8 | 1000 |
| 9 | 1001 |
000 , 001 , 002 , ... 007 , 008 , 009 , ( mais à direita dígito começa de novo , e próximo dígito é incrementado )
010 , 011 , 012 , ...
...
090 , 091 , 092 , ... 097 , 098 , 099 , ( dois dígitos mais à direita começar de novo, e próximo dígito é incrementado )
100 , 101 , 102 , ...Depois de um dígito atinge 9 , um incremento redefine a 0, mas também provoca um incremento do próximo dígito à esquerda .
Contagem Binária
Em binário , a contagem segue procedimento semelhante , exceto que apenas os dois símbolos 0 e 1 são usados. Assim, depois de um dígito atinge 1 em binário, um incremento redefine a 0, mas também provoca um incremento do próximo dígito à esquerda :
0000 ,
0001, ( mais à direita dígito começa de novo , e próximo dígito é incrementado )
0010 , 0011 , ( dois dígitos mais à direita começar de novo, e próximo dígito é incrementado )
0100 , 0101 , 0110 , 0111 , ( mais à direita três dígitos começar de novo, e o próximo dígito é incrementado )
1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 ...Uma vez que é um sistema binário de base 2 , cada dígito representa um aumento de potência de dois , com o dígito mais à direita representa 20 , o que representa 21 próximo , em seguida, 22 , e assim por diante . Para determinar a representação decimal de um número binário simplesmente tomar a soma dos produtos dos dígitos binários e as potências de 2 que representam. Por exemplo , o número binário 100101 é convertido para a forma decimal como se segue :
1001012 = [ ( 1 ) × 25 ] + [ ( 0 ) × 24 ] + [ ( 0 ) × 23 ] + [ ( 1 ) × 22 ] + [ ( 0 ) × 21 ] + [ ( 1 ) × 20 ]
1001012 = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 x 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]
1001012 = 3710Para criar um maior número , algarismos suplementares são simplesmente adicionados ao lado esquerdo da representação binária .FraçõesFrações em binário só terminará se o denominador tem 2 como o único fator primordial. Como resultado , 1/10 não têm uma representação binária finito , e isso faz com que 10 × 0,1 a não ser exactamente igual a 1 em aritmética de ponto flutuante . Como um exemplo , para interpretar a expressão binário de 1/3 = 0,010101 ... , isto significa : 1/3 = 0 × 2-1 + 2-2 + 1 × 0 × 2-3 + 1 × 2-4 + ... = 0,3125 + ... Um valor exato não pode ser encontrado com a soma de um número finito de potências inversas de dois, os zeros e uns na representação binária de 1/3 alternativo para sempre .Fração decimal aproximação Fractional Binary
| Fraction | Decimal | Binary | Fractional approximation |
|---|---|---|---|
| 1/1 | 1 or 0.999... | 1 or 0.111... | 1/2 + 1/4 + 1/8... |
| 1/2 | 0.5 or 0.4999... | 0.1 or 0.0111... | 1/4 + 1/8 + 1/16 . . . |
| 1/3 | 0.333... | 0.010101... | 1/4 + 1/16 + 1/64 . . . |
| 1/4 | 0.25 or 0.24999... | 0.01 or 0.00111... | 1/8 + 1/16 + 1/32 . . . |
| 1/5 | 0.2 or 0.1999... | 0.00110011... | 1/8 + 1/16 + 1/128 . . . |
| 1/6 | 0.1666... | 0.0010101... | 1/8 + 1/32 + 1/128 . . . |
| 1/7 | 0.142857142857... | 0.001001... | 1/8 + 1/64 + 1/512 . . . |
| 1/8 | 0.125 or 0.124999... | 0.001 or 0.000111... | 1/16 + 1/32 + 1/64 . . . |
| 1/9 | 0.111... | 0.000111000111... | 1/16 + 1/32 + 1/64 . . . |
| 1/10 | 0.1 or 0.0999... | 0.000110011... | 1/16 + 1/32 + 1/256 . . . |
| 1/11 | 0.090909... | 0.00010111010001011101... | 1/16 + 1/64 + 1/128 . . . |
| 1/12 | 0.08333... | 0.00010101... | 1/16 + 1/64 + 1/256 . . . |
| 1/13 | 0.076923076923... | 0.000100111011000100111011... | 1/16 + 1/128 + 1/256 . . . |
| 1/14 | 0.0714285714285... | 0.0001001001... | 1/16 + 1/128 + 1/1024 . . . |
| 1/15 | 0.0666... | 0.00010001... | 1/16 + 1/256 . . . |
| 1/16 | 0.0625 or 0.0624999... | 0.0001 or 0.0000111... | 1/32 + 1/64 + 1/128 . . . |
Aritmética binária
Aritmética em binário é muito parecido com aritmética em outros sistemas numerais . Adição, subtração , multiplicação e divisão pode ser realizada em números binários.
adiçãoVer artigo principal: víbora binárioO diagrama de circuito para uma meia víbora binário, que adiciona dois pedaços juntos , produzindo soma e transportar bits.A operação aritmética mais simples em binário é adição. Adicionando dois números binários de um dígito é relativamente simples, usando uma forma de transporte :
0 + 0 → 0
0 + 1 → 1
1 + 0 → 1
1 + 1 → 0, levar 1 ( uma vez que 1 + 1 = 2 = 0 + ( 1 × 21 ) )Adição de dois dígitos "1" produz um dígito " 0 " , enquanto que um terá de ser adicionado para a coluna seguinte . Isto é semelhante ao que acontece em decimal quando certos números de um dígito são somados e, se o resultado for igual ou superior ao valor da raiz (10), o dígito à esquerda é incrementado :
5 + 5 → 0, transportar 1 ( a partir de 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 101) )
7 + 9 → 6 , levar 1 ( desde 7 + 9 = 16 = 6 + ( 1 × 101) )Isto é conhecido como a realização . Quando o resultado de uma adição excede o valor de um dígito , o procedimento é o de " transportar " o excesso de quantidade dividida pela raiz ( isto é, 10/10 ) para a esquerda , adicionando-a para o próximo valor posicional . Este é correcta desde a posição seguinte tem um peso que é maior por um factor igual ao da raiz. Realização de obras da mesma maneira em binário:
1 1 1 1 1 ( dígitos realizado )
0 1 1 0 1+ 1 0 1 1 1-------------= 1 0 0 1 0 0 = 36Neste exemplo , dois números estão a ser acumulados: 011012 ( 1310 ) e 101112 ( 2310 ) . A primeira linha mostra os bits de transporte utilizados . Começando na coluna mais à direita , 1 + 1 = 102. A 1 é transportada para a esquerda , e a 0 é escrito na parte inferior da coluna mais à direita . A segunda coluna da direita é adicionado : 1 + 0 + 1 = 102 novamente , o 1 é realizada , e 0 é escrito na parte inferior. A terceira coluna : 1 + 1 + 1 = 112. Desta vez , a 1 é realizado , e um 1 é escrito na linha de fundo. Procedendo assim dá a resposta final 1001002 (36 decimal).Quando os computadores deve adicionar dois números, a regra de que : x xor y = (x + y ) mod 2 para quaisquer dois bits de x e y permite cálculo muito rápido, também.Método de transporte de longaA simplificação para muitos problemas de adição binária é o Método de transporte de longo ou Método Brookhouse de binário Adição . Este método é geralmente útil em qualquer adição binária em que um dos números contém uma " cadeia" de longo de uns. Ele baseia-se na premissa de que a simples sob o sistema binário , quando é dada uma " cadeia" de dígitos compostos inteiramente de n queridos ( em que n é qualquer número inteiro de comprimento ) , adicionando 1 resultará na número 1 seguido por uma cadeia de n zeros . Esse conceito se segue, logicamente , assim como no sistema decimal , onde a adição de 1 a uma seqüência de n 9s resultará no número 1 seguido por uma seqüência de n 0s :
binário Decimal
1 1 1 1 1 do mesmo modo 9 9 9 9 9
+ 1 + 1
----------------------
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0Tais cadeias longas são bastante comuns no sistema binário . Desde que descobre-se que grandes números binários pode ser adicionado usando dois passos simples, sem operações de carry excessivos. No exemplo a seguir , dois números são adicionados juntos : 1 1 1 0 1 1 1 1 1 02 ( 95810 ) e 1 0 1 0 1 1 0 0 1 12 ( 69110 ) , usando o método tradicional de transporte do lado esquerdo , e o método de transporte de longa à direita:Método Tradicional Carry Carry Método Longo
vs
1 1 1 1 1 1 1 1 (dígitos realizadas ) 1 1 ← ← levar a um até que seja um dígito após o " string" abaixo
1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 riscar o " string" ,+ 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 e riscar o dígito que foi adicionada a ela----------------------------------------------= 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1A primeira linha mostra os bits de transporte utilizados . Em vez de transportar o padrão a partir de uma coluna para outra, o menor ordenada " 1 " com um " 1 " no lugar correspondente valor abaixo dela pode ser acrescentado e um " 1 " pode ser realizado a um dígito para além da extremidade do série . Os números de "usado" deve ser riscado , uma vez que já são adicionados. Outras cadeias longas também poderá ser cancelada usando a mesma técnica . Em seguida, basta somar os dígitos restantes normalmente. Procedendo desta maneira dá a resposta final de 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 12 ( 164910 ) . No nosso exemplo simples, usando um pequeno número , o método de transporte tradicional exigido oito operações de transporte, no entanto, o método de transporte de longo necessários apenas dois , o que representa uma redução substancial de esforço.mesa Adição0 10 0 11 1 10A tabela a adição binária é semelhante, mas não é o mesmo , como a tabela de verdade da disjunção lógica operação \ ou . A diferença é que uma \ ou 1 = 1 , enquanto que 1 1 = 10 .subtraçãoMais informações: representações de números assinados e complemento de doisSubtração funciona quase da mesma maneira:
0-0 → 0
0-1 → 1 , emprestar 1
1-0 → 1
1 - 1 → 0Subtraindo-se um " 1 " de um dígito " 0 " dígito produz o dígito " 1 " , enquanto que um terá de ser subtraída da coluna seguinte . Isto é conhecido como empréstimo. O princípio é o mesmo que para o transporte . Quando o resultado de uma subtracção é inferior a 0 , o valor mínimo possível de um dígito , o procedimento é para " retirar" o défice dividida pela raiz ( isto é, 10/10 ) a partir da esquerda , subtraindo-o do lado de posicionamento valor.
**** ( Colunas estrelou são emprestados a partir de )
1 1 0 1 1 1 0- 1 0 1 1 1----------------= 1 0 1 0 1 1 1Subtraindo-se um número positivo é equivalente a adicionar um número negativo de valor absoluto igual . Os computadores usam representações de números assinados para lidar com números - mais negativos comumente notação de complemento de dois . Estas representações eliminar a necessidade de uma operação separada " subtrair " . Usando dois de subtração notação complemento pode ser resumido pela seguinte fórmula :A - B = A + B + 1 nãomultiplicaçãoMultiplicação em binário é semelhante ao seu homólogo decimal. Dois números A e B pode ser multiplicado por produtos parciais : para cada dígito em B, o produto dessa dígitos em A é calculado e escrito em uma nova linha , deslocou para a esquerda de modo que suas linhas de dígitos mais à direita até com o dígito na B que era utilizado . A soma de todos estes produtos parciais dá o resultado final .Uma vez que existem apenas dois dígitos em binário, existem apenas dois resultados possíveis de cada multiplicação parcial :
Se o algarismo B é 0 , o produto parcial é também 0
Se o algarismo B é 1 , o produto parcial é igual a APor exemplo , os números binários 1011 e 1010 são multiplicados como se segue :
1 0 1 1 ( A)
× 1 0 1 0 ( B )
---------
0 0 0 0 ← Corresponde à direita 'zero' em B
+ 1 0 1 1 ← Corresponde ao lado 'um' em B
+ 0 0 0 0
+ 1 0 1 1
---------------
= 1 1 0 1 1 1 0Os números binários também podem ser multiplicados com pedaços depois de um ponto binário:
1 0 1 . 1 0 1 A ( 5.625 in decimal)
× 1 1 0 . 0 1 B (6,25 em decimal)
-------------------
1 . 0 1 1 0 1 ← Corresponde a um 'um' em B
+ 0 0 . 0 0 0 0 ← Corresponde a um "zero" em B
+ 0 0 0 . 0 0 0
+ 1 0 1 1 . 0 1
+ 1 0 1 1 0 . 1
---------------------------
= 1 0 0 0 1 1 . 0 0 1 0 1 (35,15625 em decimal)Veja também algoritmo de multiplicação de Booth .tabuada de multiplicar0 10 0 01 0 1A tabela de multiplicação binárias é a mesma que a tabela de verdade do funcionamento conjunto lógico \ e .divisão
Algoritmo DivisãoDivisão binária é novamente semelhante ao seu homólogo decimal:Aqui, o divisor é 1012, ou 5 decimal , enquanto o dividendo é 110.112 , ou 27 decimal. O procedimento é o mesmo que o de divisão longa decimal ; aqui , o divisor 1012 vai para os primeiros três dígitos de 1102 o dividendo uma vez , de modo que um " 1 " é escrito na linha superior . Este resultado é multiplicado pelo divisor e subtraído os três primeiros dígitos do dividendo , o próximo dígito ( "1" ) é incluído para obter uma nova sequência de três dígitos :
1
___________1 0 1 ) 1 1 0 1 1
- 1 0 1
-----
0 1 1O procedimento é repetido com a nova seqüência , continuando até que os dígitos do dividendo tenham sido esgotadas :
1 0 1
___________1 0 1 ) 1 1 0 1 1
- 1 0 1
-----
0 1 1
- 0 0 0
-----
1 1 1
- 1 0 1
-----
1 0Assim, o quociente de 110.112 dividido por 1012 é 1012, como mostrado na linha superior , enquanto o restante , mostrado na linha de fundo , é de 102 . Em decimal , 27 dividido por 5 é 5, com resto 2.raiz quadradaBinário raiz quadrada é semelhante ao seu homólogo decimal também. Mas, é mais simples do que em decimal.
1 0 0 1
---------
√ 1010001
1
---------
101 01
0
--------
1001 100
0
--------
10001 10001
10001
-------
0operações bit a bit
Apesar de não ser diretamente relacionado com a interpretação numérica de símbolos binários, seqüências de bits podem ser manipulados usando operadores lógicos booleanos. Quando uma seqüência de símbolos binários é manipulado dessa forma, ele é chamado de uma operação bit a bit , os operadores lógicos AND, OR , XOR e pode ser realizada em bits correspondentes em dois números binários fornecidos como entrada. A operação lógica NÃO pode ser realizada em pedaços individuais em um único número binário fornecido como entrada . Por vezes , tais operações podem ser utilizados como aritméticas atalhos , e pode ter outros benefícios computacionais bem . Por exemplo , um deslocamento à esquerda aritmética de um número binário é o equivalente a multiplicação por um (integral positivo ) potência de 2 .Conversão de e para outros sistemas numeraisdecimalPara converter de um número inteiro numeral de base 10 para a sua ( binário ) o equivalente de base 2 , o número é dividido por dois , e o restante é o bit menos significativo . O (inteiro ) resultado é novamente dividido por dois , o restante é o seguinte bit menos significativo . Este processo se repete até que o quociente se torna zero.Conversão de base 2 para receitas , aplicando o algoritmo anterior 10 -base , por assim dizer , em sentido inverso. Os bits do número binário é utilizado , uma a uma , começando com o mais significativo ( mais à esquerda ) bits . Começando com o valor 0 , o dobro repetidamente o valor anterior e adicione o próximo bit para produzir o próximo valor. Isso pode ser organizada em uma tabela com várias colunas . Por exemplo, para converter 100101011012 para decimal:
Valor Antes × 2 + Próximo bit seguinte valor
0 x 2 + 1 = 1
1 × 2 + 0 = 2
2 × 2 + 0 = 4
4 × 2 + 1 = 9
9 × 2 + 0 = 18
18 × 2 + 1 = 37
37 × 2 + 0 = 74
74 × 2 + 1 = 149
149 × 2 + 1 = 299
299 × 2 + 0 = 598
598 × 2 + 1 = 1197O resultado é 119710 . Note-se que o primeiro Valor Antes de 0 é simplesmente um valor decimal inicial . Este método é uma aplicação do regime de Horner .Binário 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1Decimal 1 × 210 + 0 × 29 + 0 × 28 + 1 × 27 + 0 × 26 + 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 1197As partes fracionárias de um número são convertidos com métodos semelhantes . Eles estão novamente com base na equivalência de desviar com duplicar ou reduzir para metade .Em um número binário fracionário como 0,110101101012 , o primeiro dígito é \ begin { matrix} \ frac {1} { 2} \ end { matrix} , o segundo \ begin { matrix} ( \ frac {1} { 2}) ^ 2 = \ frac {1 } {4} \ end { matrix} , etc Então, se há um 1 em primeiro lugar após o decimal , então o número é pelo menos \ begin { matrix} \ frac { 1} {2 } \ end { matrix} , e vice- versa. Dupla que o número é pelo menos 1. Isto sugere que o algoritmo : repetidamente dobrar o número a ser convertido , ficha , se o resultado é , no mínimo, 1 , e , em seguida, jogue fora a parte inteira .Por exemplo, \ begin { matrix} (\ frac { 1} {3} ) \ end { matrix} 10 , em binário, é a seguinte:
Convertendo Resultado
\ begin { matrix} \ frac {1} { 3} \ end { matrix} 0 .
\ begin { matrix} \ frac { 1 } { 3 } \ times 2 = \ frac {2} { 3} <1 \ end { matrix} 0.0
\ begin { matrix} \ frac { 2 } { 3 } \ times 2 = 1 \ frac {1} {3 } \ ge 1 \ end { matrix} 0,01
\ begin { matrix} \ frac { 1 } { 3 } \ times 2 = \ frac {2} { 3} <1 \ end { matrix} 0.010
\ begin { matrix} \ frac { 2 } { 3 } \ times 2 = 1 \ frac {1} {3 } \ ge 1 \ end { matrix} 0,0101Assim, a fração decimal repetindo 0,3 ... é equivalente à fração binária repetindo 0,01 ... .Ou, por exemplo , 0.110 , em binária , é :
Convertendo Resultado
0.1 0 .
0,1 × 2 = 0,2 < 1 0,0
0,2 × 2 = 0,4 < 1 0,00
0,4 × 2 = 0,8 < 1 0,000
0,8 x 2 = 1,6 ≥ 1 0,0001
0,6 × 2 = 1,2 ≥ 1 0.00011
0,2 × 2 = 0,4 < 1 0,000110
0,4 × 2 = 0,8 < 1 0,0001100
0,8 x 2 = 1,6 ≥ 1 0,00011001
0,6 × 2 = 1,2 ≥ 1 0,000110011
0,2 × 2 = 0,4 < 1 0,0001100110Esta é também uma fração binária repetindo 0.00011 ... . Pode vir como uma surpresa que encerra frações decimais podem ter expansões de repetição em binário . É por esta razão que muitos se surpreendem ao descobrir que 0,1 + ... + 0,1, ( 10 adições ) difere de 1 em aritmética de ponto flutuante . Na verdade, as únicas frações binárias com expansões de terminação são da forma de um inteiro dividido por uma potência de 2 , que 1/10 não é.A conversão final, é de binário para as fracções decimais . A única dificuldade surge com frações de repetição, mas por outro lado o método é mudar a fração de um inteiro, convertê-la como acima, e em seguida, dividir pelo poder apropriado de dois na base decimal . Por exemplo :
Ver artigo principal: víbora binárioO diagrama de circuito para uma meia víbora binário, que adiciona dois pedaços juntos , produzindo soma e transportar bits.A operação aritmética mais simples em binário é adição. Adicionando dois números binários de um dígito é relativamente simples, usando uma forma de transporte :
0 + 0 → 0
0 + 1 → 1
1 + 0 → 1
1 + 1 → 0, levar 1 ( uma vez que 1 + 1 = 2 = 0 + ( 1 × 21 ) )Adição de dois dígitos "1" produz um dígito " 0 " , enquanto que um terá de ser adicionado para a coluna seguinte . Isto é semelhante ao que acontece em decimal quando certos números de um dígito são somados e, se o resultado for igual ou superior ao valor da raiz (10), o dígito à esquerda é incrementado :
5 + 5 → 0, transportar 1 ( a partir de 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 101) )
7 + 9 → 6 , levar 1 ( desde 7 + 9 = 16 = 6 + ( 1 × 101) )Isto é conhecido como a realização . Quando o resultado de uma adição excede o valor de um dígito , o procedimento é o de " transportar " o excesso de quantidade dividida pela raiz ( isto é, 10/10 ) para a esquerda , adicionando-a para o próximo valor posicional . Este é correcta desde a posição seguinte tem um peso que é maior por um factor igual ao da raiz. Realização de obras da mesma maneira em binário:
1 1 1 1 1 ( dígitos realizado )
0 1 1 0 1+ 1 0 1 1 1-------------= 1 0 0 1 0 0 = 36Neste exemplo , dois números estão a ser acumulados: 011012 ( 1310 ) e 101112 ( 2310 ) . A primeira linha mostra os bits de transporte utilizados . Começando na coluna mais à direita , 1 + 1 = 102. A 1 é transportada para a esquerda , e a 0 é escrito na parte inferior da coluna mais à direita . A segunda coluna da direita é adicionado : 1 + 0 + 1 = 102 novamente , o 1 é realizada , e 0 é escrito na parte inferior. A terceira coluna : 1 + 1 + 1 = 112. Desta vez , a 1 é realizado , e um 1 é escrito na linha de fundo. Procedendo assim dá a resposta final 1001002 (36 decimal).Quando os computadores deve adicionar dois números, a regra de que : x xor y = (x + y ) mod 2 para quaisquer dois bits de x e y permite cálculo muito rápido, também.Método de transporte de longaA simplificação para muitos problemas de adição binária é o Método de transporte de longo ou Método Brookhouse de binário Adição . Este método é geralmente útil em qualquer adição binária em que um dos números contém uma " cadeia" de longo de uns. Ele baseia-se na premissa de que a simples sob o sistema binário , quando é dada uma " cadeia" de dígitos compostos inteiramente de n queridos ( em que n é qualquer número inteiro de comprimento ) , adicionando 1 resultará na número 1 seguido por uma cadeia de n zeros . Esse conceito se segue, logicamente , assim como no sistema decimal , onde a adição de 1 a uma seqüência de n 9s resultará no número 1 seguido por uma seqüência de n 0s :
binário Decimal
1 1 1 1 1 do mesmo modo 9 9 9 9 9
+ 1 + 1
----------------------
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0Tais cadeias longas são bastante comuns no sistema binário . Desde que descobre-se que grandes números binários pode ser adicionado usando dois passos simples, sem operações de carry excessivos. No exemplo a seguir , dois números são adicionados juntos : 1 1 1 0 1 1 1 1 1 02 ( 95810 ) e 1 0 1 0 1 1 0 0 1 12 ( 69110 ) , usando o método tradicional de transporte do lado esquerdo , e o método de transporte de longa à direita:Método Tradicional Carry Carry Método Longo
vs
1 1 1 1 1 1 1 1 (dígitos realizadas ) 1 1 ← ← levar a um até que seja um dígito após o " string" abaixo
1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 riscar o " string" ,+ 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 e riscar o dígito que foi adicionada a ela----------------------------------------------= 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1A primeira linha mostra os bits de transporte utilizados . Em vez de transportar o padrão a partir de uma coluna para outra, o menor ordenada " 1 " com um " 1 " no lugar correspondente valor abaixo dela pode ser acrescentado e um " 1 " pode ser realizado a um dígito para além da extremidade do série . Os números de "usado" deve ser riscado , uma vez que já são adicionados. Outras cadeias longas também poderá ser cancelada usando a mesma técnica . Em seguida, basta somar os dígitos restantes normalmente. Procedendo desta maneira dá a resposta final de 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 12 ( 164910 ) . No nosso exemplo simples, usando um pequeno número , o método de transporte tradicional exigido oito operações de transporte, no entanto, o método de transporte de longo necessários apenas dois , o que representa uma redução substancial de esforço.mesa Adição0 10 0 11 1 10A tabela a adição binária é semelhante, mas não é o mesmo , como a tabela de verdade da disjunção lógica operação \ ou . A diferença é que uma \ ou 1 = 1 , enquanto que 1 1 = 10 .subtraçãoMais informações: representações de números assinados e complemento de doisSubtração funciona quase da mesma maneira:
0-0 → 0
0-1 → 1 , emprestar 1
1-0 → 1
1 - 1 → 0Subtraindo-se um " 1 " de um dígito " 0 " dígito produz o dígito " 1 " , enquanto que um terá de ser subtraída da coluna seguinte . Isto é conhecido como empréstimo. O princípio é o mesmo que para o transporte . Quando o resultado de uma subtracção é inferior a 0 , o valor mínimo possível de um dígito , o procedimento é para " retirar" o défice dividida pela raiz ( isto é, 10/10 ) a partir da esquerda , subtraindo-o do lado de posicionamento valor.
**** ( Colunas estrelou são emprestados a partir de )
1 1 0 1 1 1 0- 1 0 1 1 1----------------= 1 0 1 0 1 1 1Subtraindo-se um número positivo é equivalente a adicionar um número negativo de valor absoluto igual . Os computadores usam representações de números assinados para lidar com números - mais negativos comumente notação de complemento de dois . Estas representações eliminar a necessidade de uma operação separada " subtrair " . Usando dois de subtração notação complemento pode ser resumido pela seguinte fórmula :A - B = A + B + 1 não
MultiplicaçãoMultiplicação em binário é semelhante ao seu homólogo decimal. Dois números A e B pode ser multiplicado por produtos parciais : para cada dígito em B, o produto dessa dígitos em A é calculado e escrito em uma nova linha , deslocou para a esquerda de modo que suas linhas de dígitos mais à direita até com o dígito na B que era utilizado . A soma de todos estes produtos parciais dá o resultado final .Uma vez que existem apenas dois dígitos em binário, existem apenas dois resultados possíveis de cada multiplicação parcial :
Se o algarismo B é 0 , o produto parcial é também 0
Se o algarismo B é 1 , o produto parcial é igual a APor exemplo , os números binários 1011 e 1010 são multiplicados como se segue :
1 0 1 1 ( A)
× 1 0 1 0 ( B )
---------
0 0 0 0 ← Corresponde à direita 'zero' em B
+ 1 0 1 1 ← Corresponde ao lado 'um' em B
+ 0 0 0 0
+ 1 0 1 1
---------------
= 1 1 0 1 1 1 0Os números binários também podem ser multiplicados com pedaços depois de um ponto binário:
1 0 1 . 1 0 1 A ( 5.625 in decimal)
× 1 1 0 . 0 1 B (6,25 em decimal)
-------------------
1 . 0 1 1 0 1 ← Corresponde a um 'um' em B
+ 0 0 . 0 0 0 0 ← Corresponde a um "zero" em B
+ 0 0 0 . 0 0 0
+ 1 0 1 1 . 0 1
+ 1 0 1 1 0 . 1
---------------------------
= 1 0 0 0 1 1 . 0 0 1 0 1 (35,15625 em decimal)Veja também algoritmo de multiplicação de Booth .tabuada de multiplicar0 10 0 01 0 1A tabela de multiplicação binárias é a mesma que a tabela de verdade do funcionamento conjunto lógico \ e .divisãoVeja também: algoritmo Divisão
Divisão binária é novamente semelhante ao seu homólogo decimal:Aqui, o divisor é 1012, ou 5 decimal , enquanto o dividendo é 110.112 , ou 27 decimal. O procedimento é o mesmo que o de divisão longa decimal ; aqui , o divisor 1012 vai para os primeiros três dígitos de 1102 o dividendo uma vez , de modo que um " 1 " é escrito na linha superior . Este resultado é multiplicado pelo divisor e subtraído os três primeiros dígitos do dividendo , o próximo dígito ( "1" ) é incluído para obter uma nova sequência de três dígitos :
1
___________1 0 1 ) 1 1 0 1 1
- 1 0 1
-----
0 1 1O procedimento é repetido com a nova seqüência , continuando até que os dígitos do dividendo tenham sido esgotadas :
1 0 1
___________1 0 1 ) 1 1 0 1 1
- 1 0 1
-----
0 1 1
- 0 0 0
-----
1 1 1
- 1 0 1
-----
1 0Assim, o quociente de 110.112 dividido por 1012 é 1012, como mostrado na linha superior , enquanto o restante , mostrado na linha de fundo , é de 102 . Em decimal , 27 dividido por 5 é 5, com resto 2.raiz quadradaBinário raiz quadrada é semelhante ao seu homólogo decimal também. Mas, é mais simples do que em decimal.
(10x + y) ^ { 10 } -100x ^ { 10 } = y ^ { 10 } 100 xy = \ begin { casos } 0 , & y = 0 \ \ 100x 1 , e Y = 1 \ end { casos }
1 0 0 1
---------
√ 1010001
1
---------
101 01
0
--------
1001 100
0
--------
10001 10001
10001
-------
0operações bit a bitVer artigo principal: operação bit a bitApesar de não ser diretamente relacionado com a interpretação numérica de símbolos binários, seqüências de bits podem ser manipulados usando operadores lógicos booleanos. Quando uma seqüência de símbolos binários é manipulado dessa forma, ele é chamado de uma operação bit a bit , os operadores lógicos AND, OR , XOR e pode ser realizada em bits correspondentes em dois números binários fornecidos como entrada. A operação lógica NÃO pode ser realizada em pedaços individuais em um único número binário fornecido como entrada . Por vezes , tais operações podem ser utilizados como aritméticas atalhos , e pode ter outros benefícios computacionais bem . Por exemplo , um deslocamento à esquerda aritmética de um número binário é o equivalente a multiplicação por um (integral positivo ) potência de 2 .Conversão de e para outros sistemas numeraisdecimalPara converter de um número inteiro numeral de base 10 para a sua ( binário ) o equivalente de base 2 , o número é dividido por dois , e o restante é o bit menos significativo . O (inteiro ) resultado é novamente dividido por dois , o restante é o seguinte bit menos significativo . Este processo se repete até que o quociente se torna zero.Conversão de base 2 para receitas , aplicando o algoritmo anterior 10 -base , por assim dizer , em sentido inverso. Os bits do número binário é utilizado , uma a uma , começando com o mais significativo ( mais à esquerda ) bits . Começando com o valor 0 , o dobro repetidamente o valor anterior e adicione o próximo bit para produzir o próximo valor. Isso pode ser organizada em uma tabela com várias colunas . Por exemplo, para converter 100101011012 para decimal:
Valor Antes × 2 + Próximo bit seguinte valor
0 x 2 + 1 = 1
1 × 2 + 0 = 2
2 × 2 + 0 = 4
4 × 2 + 1 = 9
9 × 2 + 0 = 18
18 × 2 + 1 = 37
37 × 2 + 0 = 74
74 × 2 + 1 = 149
149 × 2 + 1 = 299
299 × 2 + 0 = 598
598 × 2 + 1 = 1197O resultado é 119710 . Note-se que o primeiro Valor Antes de 0 é simplesmente um valor decimal inicial . Este método é uma aplicação do regime de Horner .Binário 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1Decimal 1 × 210 + 0 × 29 + 0 × 28 + 1 × 27 + 0 × 26 + 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 1197As partes fracionárias de um número são convertidos com métodos semelhantes . Eles estão novamente com base na equivalência de desviar com duplicar ou reduzir para metade .Em um número binário fracionário como 0,110101101012 , o primeiro dígito é \ begin { matrix} \ frac {1} { 2} \ end { matrix} , o segundo \ begin { matrix} ( \ frac {1} { 2}) ^ 2 = \ frac {1 } {4} \ end { matrix} , etc Então, se há um 1 em primeiro lugar após o decimal , então o número é pelo menos \ begin { matrix} \ frac { 1} {2 } \ end { matrix} , e vice- versa. Dupla que o número é pelo menos 1. Isto sugere que o algoritmo : repetidamente dobrar o número a ser convertido , ficha , se o resultado é , no mínimo, 1 , e , em seguida, jogue fora a parte inteira .Por exemplo, \ begin { matrix} (\ frac { 1} {3} ) \ end { matrix} 10 , em binário, é a seguinte:
Convertendo Resultado
\ begin { matrix} \ frac {1} { 3} \ end { matrix} 0 .
\ begin { matrix} \ frac { 1 } { 3 } \ times 2 = \ frac {2} { 3} <1 \ end { matrix} 0.0
\ begin { matrix} \ frac { 2 } { 3 } \ times 2 = 1 \ frac {1} {3 } \ ge 1 \ end { matrix} 0,01
\ begin { matrix} \ frac { 1 } { 3 } \ times 2 = \ frac {2} { 3} <1 \ end { matrix} 0.010
\ begin { matrix} \ frac { 2 } { 3 } \ times 2 = 1 \ frac {1} {3 } \ ge 1 \ end { matrix} 0,0101Assim, a fração decimal repetindo 0,3 ... é equivalente à fração binária repetindo 0,01 ... .Ou, por exemplo , 0.110 , em binária , é :
Convertendo Resultado
0.1 0 .
0,1 × 2 = 0,2 < 1 0,0
0,2 × 2 = 0,4 < 1 0,00
0,4 × 2 = 0,8 < 1 0,000
0,8 x 2 = 1,6 ≥ 1 0,0001
0,6 × 2 = 1,2 ≥ 1 0.00011
0,2 × 2 = 0,4 < 1 0,000110
0,4 × 2 = 0,8 < 1 0,0001100
0,8 x 2 = 1,6 ≥ 1 0,00011001
0,6 × 2 = 1,2 ≥ 1 0,000110011
0,2 × 2 = 0,4 < 1 0,0001100110Esta é também uma fração binária repetindo 0.00011 ... . Pode vir como uma surpresa que encerra frações decimais podem ter expansões de repetição em binário . É por esta razão que muitos se surpreendem ao descobrir que 0,1 + ... + 0,1, ( 10 adições ) difere de 1 em aritmética de ponto flutuante . Na verdade, as únicas frações binárias com expansões de terminação são da forma de um inteiro dividido por uma potência de 2 , que 1/10 não é.A conversão final, é de binário para as fracções decimais . A única dificuldade surge com frações de repetição, mas por outro lado o método é mudar a fração de um inteiro, convertê-la como acima, e em seguida, dividir pelo poder apropriado de dois na base decimal . Por exemplo :
forma de converter de binário para decimal , muitas vezes mais rápido
para uma pessoa familiarizada com hexadecimal , é fazê-lo indiretamente ,
primeiro convertendo (x em binário ) para ( x em hexadecimal) e , em
seguida, converter (x em hexadecimal ) para ( x em decimal ) .
Para
grandes números , estes métodos simples são ineficientes porque
realizar um grande número de multiplicações ou divisões onde um operando
é muito grande . Um
algoritmo de divisão e conquista simples é assintoticamente mais eficaz
: dado um número binário , que é dividido por 10k , em que k é
escolhido de modo que o quociente é aproximadamente igual ao restante ,
então cada uma destas peças é convertido para decimal e os dois são concatenadas. Dado
um número decimal , pode ser dividida em dois pedaços de
aproximadamente o mesmo tamanho , cada um dos quais é convertida em
binário , após o que a primeira peça convertido é multiplicado por 10k e
adicionou-se a segunda peça convertido , onde k é o número de decimal dígitos na segunda parte , menos significativo antes da conversão .HexadecimalVer artigo principal: hexadecimal0hex = 0dec 0oct = 0 0 0 01hex = 1dec 1oct = 0 0 0 12hex = 2dec = 2oct 0 0 1 03hex = 3dec = 3oct 0 0 1 14hex = 4dec = 4oct 0 1 0 05hex = 5dec = 5oct 0 1 0 16hex = 6dec = 6oct 0 1 1 07hex = 7dec 7oct = 0 1 1 18hex = 8dec = 10oct 1 0 0 09hex = 9dec = 11oct 1 0 0 1Ahex = 10dec = 12oct 1 0 1 0Bhex = 11dec = 13oct 1 0 1 1Chex = 12dec = 14oct 1 1 0 0DHex = 13dec = 15oct 1 1 0 1Ehex = 14Dez = 16oct 1 1 1 0FHEX = 15Dez = 17oct 1 1 1 1Binário pode ser convertido para e de hexadecimal um pouco mais facilmente . Isto é porque a raiz do sistema hexadecimal ( 16 ) é uma potência da raiz do sistema binário ( 2 ) . Mais especificamente , 16 = 24 , de modo que leva quatro dígitos binários para representar um dígito de hexadecimal , tal como mostrado na tabela para a direita .Para converter um número hexadecimal em seu equivalente binário, simplesmente substitua os dígitos binários correspondentes :
3A16 = 0011 10102
E716 = 1110 01112Para converter um número binário em seu equivalente hexadecimal , dividi-lo em grupos de quatro bits. Se o número de bits não é um múltiplo de quatro , basta inserir extras 0 bits no esquerdo ( chamado enchimento ) . Por exemplo :
10100102 = 0101 0010 agrupados com estofamento = 5216
110111012 = 1101 1101 = agrupados DD16Para converter um número hexadecimal em seu equivalente decimal , multiplique o equivalente decimal de cada dígito hexadecimal pelo poder correspondente de 16 e adicionar os valores resultantes :
C0E716 = ( 12 x 163 ) + ( 0 x 162 ) + ( 14 x 161 ) + ( 7 × 160 ) = ( 12 × 4096 ) + ( 0 x 256 ) + ( 14 x 16 ) + ( 7 × 1 ) = 49,38310octalBinária também é facilmente convertido para o sistema de numeração octal , desde octal utiliza uma base igual a 8 , que é uma potência de dois ( isto é , 23 , de modo que é preciso exactamente três dígitos binários para representar um dígito octal ) . A correspondência entre octal e números binários é o mesmo que para os oito primeiros dígitos de hexadecimal na tabela acima . Binária 000 é equivalente ao dígito octal 0 , binário 111 é equivalente ao octal 7 , e assim por diante .
octal Binário
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111Convertendo de octal para recursos binários da mesma forma como faz para hexadecimal :
658 = 110 1012
178 = 001 1112E de binário para octal :
1011002 = 101 1002 = 548 agrupados
100112 = 010 0112 agrupados com estofamento = 238E a partir de octal para decimal:
658 = ( 6 × 81) + ( 5 × 80 ) = ( 6 × 8) + ( 5 × 1) = 5310
1278 = ( 1 × 82 ) + (2 x 81 ) + ( 7 × 80 ) = ( 1 × 64 ) + ( 2 × 8 ) + ( 7 × 1 ) = 8710
Representando números reaisNão- inteiros pode ser representado usando poderes negativos , que são definidos a partir dos outros dígitos por meio de um ponto de raiz (chamado um ponto decimal no sistema decimal). Por exemplo, o número binário 11,012 significa assim:
1 × 21 ( 1 × 2 = 2 ), além
1 × 20 ( 1 × 1 = 1 ), além
0 × 2-1 ( 0 × ½ = 0 ) acrescido
1 × 2-2 ( 1 × ¼ = 0,25 )Para um total de 3,25 decimal .
Todos os números racionais diádicas
\ frac { { 10 } 1_ } { { 3_ 10 }} = \ frac { 1_2 } { 11_2 } = 0,0101010101 ... 2
\ frac { { 10 } 12_ } { 17_ { 10 }} = \ frac { } { 1100_2 10001_2 } = 0,10110100 10110100 10110100 ... 2O fenômeno que a representação binária de qualquer racional é ou terminação ou recorrente também ocorre em outros sistemas numéricos baseados em Radix . Veja-se, por exemplo , a explicação em decimal . Outra semelhança é a existência de representações alternativas para qualquer representação de terminação , contando com o fato de que 0.111111 ... é a soma da série geométrica 2-1 + 2-2 + 2-3 + ... que é 1 .Números binários que não terminam nem recorrências representam números irracionais . Por exemplo ,
0,10100100010000100000100 ... tem um padrão, mas não é um padrão recorrente de comprimento fixo , então o número é irracional
1,0110101000001001111001100110011111110 ... é a representação binária de
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